Упр.225 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — правильная четырёхугольная призма, а $$\varphi$$ — угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью основания $$ABC$$.

По условию угол между диагональю $$AC_1$$ и плоскостью боковой грани равен $$30^\circ$$. Рассмотрим две прямоугольные треугольника: $$\triangle AC_1C$$ и $$\triangle AC_1D_1$$.

Так как основание призмы — квадрат, то если его сторона равна $$a$$, то диагональ основания

$$AC=a\sqrt{2}.$$

В треугольнике $$AC_1C$$ угол между прямой $$AC_1$$ и плоскостью основания равен $$\varphi$$, поэтому

$$\cos\varphi=\frac{AC}{AC_1}.$$

В треугольнике $$AC_1D_1$$ имеем

$$\sin 30^\circ=\frac{D_1C_1}{AC_1}.$$

Но в правильной призме $$D_1C_1=DC=a$$, значит

$$\sin 30^\circ=\frac{a}{AC_1}=\frac{1}{2},$$

откуда

$$AC_1=2a.$$

Теперь найдём $$\varphi$$:

$$\cos\varphi=\frac{AC}{AC_1}=\frac{a\sqrt{2}}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно,

$$\varphi=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$