Упр.224 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом $$60^\circ$$. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна $$4\sqrt{2}\ \text{см}$$.
Так как призма правильная, её основание — квадрат. Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда по условию диагональ основания
$$AC=a\sqrt{2}=4\sqrt{2},$$
откуда $$a=4$$.
Диагональ призмы $$AC_1$$ наклонена к плоскости основания под углом $$60^\circ$$, значит угол между прямой $$AC_1$$ и её проекцией $$AC$$ равен $$60^\circ$$. В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$ имеем
$$\tan 60^\circ=\frac{CC_1}{AC},$$
следовательно
$$CC_1=AC\cdot \tan 60^\circ=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=4\sqrt{6}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABB_1$$. Тогда
$$AB_1^2=AB^2+BB_1^2=4^2+(4\sqrt{6})^2=16+96=112,$$
значит
$$AB_1=4\sqrt{7}.$$
Сечение проходит через сторону нижнего основания $$AD$$ и противолежащую сторону верхнего основания $$B_1C_1$$, поэтому оно является прямоугольником со сторонами $$AD$$ и $$AB_1$$. Тогда его площадь равна
$$S=AD\cdot AB_1=4\cdot 4\sqrt{7}=16\sqrt{7}\ \text{см}^2.$$
Ответ: $$16\sqrt{7}\ \text{см}^2$$.
