Упр.221 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Сторона основания правильной треугольной призмы равна $$8\text{ см}$$, боковое ребро равно $$6\text{ см}$$. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.
Рассмотрим треугольник $$AB_1C_1$$ — это сечение призмы плоскостью, проходящей через сторону верхнего основания $$B_1C_1$$ и противолежащую вершину нижнего основания $$A$$.
Так как призма правильная, то боковые рёбра перпендикулярны основанию, значит $$CC_1 \perp ABC$$. Следовательно, треугольник $$ACC_1$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора
$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2.$$
Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $$8$$ см, значит
$$AC=8\text{ см}.$$
Тогда
$$AC_1^2=8^2+6^2=64+36=100,$$
откуда
$$AC_1=10\text{ см}.$$
Аналогично получаем
$$AB_1=10\text{ см}.$$
Кроме того,
$$B_1C_1=BC=8\text{ см}.$$
Итак, треугольник $$AB_1C_1$$ имеет стороны $$10$$ см, $$10$$ см и $$8$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:
$$p=\frac{10+10+8}{2}=14,$$
$$S=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-8)}=\sqrt{14\cdot 4\cdot 4\cdot 6}.$$
$$S=\sqrt{1344}=8\sqrt{21}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$8\sqrt{21}\text{ см}^2$$.
