Упр.221 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Подробный ответ

Так как призма правильная, то её боковые рёбра перпендикулярны основанию. Следовательно, треугольники $$ACC_1$$ и $$ABB_1$$ прямоугольные.

Найдём диагонали боковых граней:

$$AC_1^2=AC^2+CC_1^2=8^2+6^2=64+36=100,$$
$$AC_1=10\text{ см}.$$

Аналогично:

$$AB_1^2=AB^2+BB_1^2=8^2+6^2=100,$$
$$AB_1=10\text{ см}.$$

В сечении получаем треугольник $$AB_1C_1$$ со сторонами:

$$AB_1=10\text{ см},\quad B_1C_1=8\text{ см},\quad AC_1=10\text{ см}.$$

Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{10+10+8}{2}=14,$$
$$S_{AB_1C_1}=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-8)}=\sqrt{14\cdot 4\cdot 4\cdot 6}.$$

$$S_{AB_1C_1}=\sqrt{1344}=8\sqrt{21}\text{ см}^2.$$