Практика Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. При каких условиях расход жести на изготовление консервных банок цилиндрической формы заданной емкости будет наибольшим? Другими словами, найдите размеры цилиндра данного объёма $$V$$, площадь поверхности которого наименьшая.

Пусть радиус основания цилиндра равен $$R$$, а высота — $$h$$. Тогда при фиксированном объёме

$$V=\pi R^2h,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi R^2}.$$

Площадь поверхности цилиндра

$$S=2\pi R^2+2\pi Rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(R)=2\pi R^2+2\pi R\cdot \frac{V}{\pi R^2}=2\pi R^2+\frac{2V}{R}.$$

Найдём минимум функции $$S(R)$$ при $$R>0$$:

$$S'(R)=4\pi R-\frac{2V}{R^2}.$$

При минимуме $$S'(R)=0$$, значит

$$4\pi R-\frac{2V}{R^2}=0,$$

$$4\pi R^3=2V,$$

$$R^3=\frac{V}{2\pi},$$

$$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}.$$

Тогда

$$h=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$

Следовательно, площадь поверхности цилиндра данного объёма наименьшая тогда, когда

$$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},\qquad h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$

Ответ: $$R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}},\ h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}.$$