Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диаметр основания цилиндра равен $$20$$, а образующая цилиндра равна $$28$$. Плоскость пересекает его основания по хордам длины $$12$$ и $$16$$. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Радиус основания цилиндра равен $$R=\frac{20}{2}=10.$$

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры оснований цилиндра, а $$E$$ и $$F$$ — точки пересечения секущей плоскости с соответствующими основаниями. Тогда расстояния от центров оснований до хорд равны:

$$O_1E=\sqrt{R^2-\left(\frac{12}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-6^2} =\sqrt{100-36} =\sqrt{64}=8,$$

$$O_2F=\sqrt{R^2-\left(\frac{16}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-8^2} =\sqrt{100-64} =\sqrt{36}=6.$$

В сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором высота цилиндра равна $$28$$, а горизонтальное смещение между точками пересечения хорд может быть либо

$$HF=O_1E-O_2F=8-6=2,$$

либо

$$HF=O_1E+O_2F=8+6=14.$$

Тогда тангенс угла между секущей плоскостью и плоскостью основания равен отношению высоты к этому смещению:

$$\tan \varphi=\frac{28}{2}=14$$
или
$$\tan \varphi=\frac{28}{14}=2.$$

Ответ: $$2$$ или $$14$$.