Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружности S_1 и S_2 радиусов R и r соответственно (R > r) касаются в точке А. Через точку В, лежащую на окружности S_1, проведена прямая, касающаяся окружности S_2 в точке М. Найдите отрезок ВМ, если известно, что AB=a.

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как окружности касаются в точке $$A$$, то точки $$O_1, A, O_2$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник $$\triangle AO_1B$$. Здесь $$O_1A=O_1B=R$$, поэтому по теореме косинусов:

$$ O_1B^2=O_1A^2+AB^2-2\cdot O_1A\cdot AB\cos\angle A $$

Подставим $$O_1A=O_1B=R$$ и $$AB=a$$:

$$ R^2=R^2+a^2-2Ra\cos\angle A $$

Отсюда

$$ \cos\angle A=\frac{a}{2R} $$

Теперь рассмотрим треугольник $$\triangle AO_2B$$. Так как $$O_2A=O_2M=r$$, а прямая $$BM$$ касается окружности $$S_2$$ в точке $$M$$, то $$O_2M\perp BM$$, и треугольник $$\triangle O_2MB$$ прямоугольный.

Сначала найдём $$O_2B$$ по теореме косинусов. В зависимости от расположения точки $$B$$ относительно точки $$A$$ возможны два случая.

1) Если угол при $$A$$ в треугольнике $$AO_2B$$ равен $$\angle A$$, то

$$ O_2B^2=AB^2+AO_2^2-2\cdot AB\cdot AO_2\cos\angle A $$

$$ O_2B^2=a^2+r^2-2ar\cdot \frac{a}{2R} =a^2+r^2-\frac{a^2r}{R} $$

Тогда из прямоугольного треугольника $$\triangle O_2MB$$:

$$ BM=\sqrt{O_2B^2-O_2M^2} =\sqrt{a^2+r^2-\frac{a^2r}{R}-r^2} =a\sqrt{1-\frac{r}{R}} $$

2) Если же угол при $$A$$ берётся как дополнительный, то

$$ O_2B^2=AB^2+AO_2^2+2\cdot AB\cdot AO_2\cos\angle A $$

$$ O_2B^2=a^2+r^2+\frac{a^2r}{R} $$

и тогда

$$ BM=\sqrt{O_2B^2-O_2M^2} =\sqrt{a^2+r^2+\frac{a^2r}{R}-r^2} =a\sqrt{1+\frac{r}{R}} $$

Следовательно, возможны два значения длины $$BM$$:

$$ BM=a\sqrt{1-\frac{r}{R}} \quad \text{или} \quad BM=a\sqrt{1+\frac{r}{R}} $$

Ответ

$$BM=a\sqrt{1-\frac{r}{R}} \text{ или } BM=a\sqrt{1+\frac{r}{R}}$$