Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а каждая из трёх других боковых граней наклонена к плоскости основания под углом в $$60^\circ$$. Высота пирамиды равна $$6$$. Найдите объём пирамиды.

Рассмотрим основание пирамиды $$ABCD$$ — прямоугольник. Пусть $$H$$ — основание высоты пирамиды, тогда $$MH \perp (ABCD)$$ и $$MH=6$$.

Так как одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, а три другие наклонены к основанию под углом $$60^\circ$$, получаем, что в соответствующих сечениях

$$\tan 60^\circ=\frac{MH}{AH}, \qquad \tan 60^\circ=\frac{MH}{HK}.$$

Отсюда

$$AH=\frac{MH}{\tan 60^\circ}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3},$$

а значит

$$AB=2AH=4\sqrt{3}.$$

Аналогично

$$HK=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3},$$

следовательно, вторая сторона прямоугольника равна

$$AD=2HK=4\sqrt{3}.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot MH =\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot MH =\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 6 =96.$$

Ответ: $$96$$.