Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Диаметр основания цилиндра равен 20, а образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Радиус основания цилиндра равен $$R=\frac{20}{2}=10.$$

Пусть плоскость пересекает верхнее и нижнее основания цилиндра по хордам $$EE_1=12$$ и $$FF_1=16.$$ Тогда расстояния от центров оснований до этих хорд равны:

$$ O_1E=\sqrt{R^2-\left(\frac{EE_1}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-6^2} =\sqrt{100-36} =8, $$

$$ O_2F=\sqrt{R^2-\left(\frac{FF_1}{2}\right)^2} =\sqrt{10^2-8^2} =\sqrt{100-64} =6. $$

В сечении получаем прямоугольный треугольник, в котором высота цилиндра равна $$28.$$ Возможны два взаимных расположения хорд относительно оси цилиндра, поэтому расстояние между их проекциями на основание равно либо

$$ HF=O_1E-O_2F=8-6=2, $$

либо

$$ HF=O_1E+O_2F=8+6=14. $$

Тогда тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен отношению высоты к этому расстоянию:

$$ \tan \varphi=\frac{28}{HF}. $$

Следовательно,

$$ \tan \varphi=\frac{28}{2}=14 $$
или
$$ \tan \varphi=\frac{28}{14}=2. $$

Ответ

$$2$$ или $$14$$.