Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.22 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Сторона правильного треугольника равна $$\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В правильном треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают. Поэтому точка пересечения этих линий является центром вписанной окружности, а радиус вписанной окружности равен трети высоты:

$$r=\frac13 CH.$$

Найдём высоту $$CH$$ в прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$AH=\frac12 AB=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2} =\sqrt{3-\frac34} =\sqrt{\frac94} =\frac32.$$

Следовательно,

$$r=\frac13\cdot \frac32=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$.