Упр.217 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна $$404\ \text{дм}^2$$, а его ребра пропорциональны числам $$3$$, $$7$$ и $$8$$. Найдите диагональ параллелепипеда.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $$x$$. Тогда ребра прямоугольного параллелепипеда равны:

$$AA_1=3x,\quad AD=7x,\quad AB=8x.$$

Площади трёх граней, имеющих общую вершину, равны:

$$S_{ABB_1A_1}=AB\cdot AA_1=8x\cdot 3x=24x^2,$$

$$S_{ADD_1A_1}=AD\cdot AA_1=7x\cdot 3x=21x^2,$$

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=8x\cdot 7x=56x^2.$$

По условию их сумма равна $$404$$, значит

$$24x^2+21x^2+56x^2=404,$$

$$101x^2=404,$$

$$x^2=4,\quad x=2.$$

Следовательно,

$$AA_1=6\text{ дм},\quad AD=14\text{ дм},\quad AB=16\text{ дм}.$$

Диагональ прямоугольного параллелепипеда найдём по теореме Пифагора:

$$AC_1^2=AA_1^2+AD^2+AB^2=6^2+14^2+16^2=36+196+256=488.$$

Тогда

$$AC_1=\sqrt{488}=2\sqrt{122}\text{ дм}.$$

Ответ: $$2\sqrt{122}\text{ дм}$$.