Упр.217 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда равны $$3x$$, $$7x$$ и $$8x$$.

Тогда площади трех граней, имеющих общую вершину, равны:

$$S_1=3x\cdot 7x=21x^2,$$

$$S_2=3x\cdot 8x=24x^2,$$

$$S_3=7x\cdot 8x=56x^2.$$

По условию:

$$21x^2+24x^2+56x^2=404,$$

$$101x^2=404,$$

$$x^2=4,\quad x=2.$$

Следовательно, ребра параллелепипеда равны $$6$$ дм, $$14$$ дм и $$16$$ дм.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда находим по теореме Пифагора в пространстве:

$$d^2=6^2+14^2+16^2=36+196+256=488,$$

значит,

$$d=\sqrt{488}=2\sqrt{122}.$$

Ответ

$$2\sqrt{122}\text{ дм}$$