Упр.216 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки A и B лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки AC и BD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если AB = AC = BD = а.

Так как отрезки $$AC$$ и $$BD$$ проведены в разных гранях двугранного угла и перпендикулярны ребру, то угол между прямыми $$AC$$ и $$BD$$ равен двугранному углу:

$$\angle(AC,BD)=120^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Поскольку $$AB$$ лежит на ребре двугранного угла, а $$BD \perp$$ ребру, то $$AB \perp BD$$. Значит, $$\triangle ABD$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора

$$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACD$$. В нём известны:

$$AC=a,\quad AD=a\sqrt{2},\quad \angle DAC=120^\circ.$$

По теореме косинусов:

$$ CD^2=AD^2+AC^2-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos 120^\circ $$

$$ CD^2=(a\sqrt{2})^2+a^2-2\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot\left(-\frac12\right) =2a^2+a^2+a^2=4a^2. $$

Следовательно,

$$CD=2a.$$

Ответ

$$CD=2a$$