Упр.213 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Правильные треугольники ABC и DBC расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Подробный ответ

Обозначим сторону правильного треугольника $$ABC$$ через $$a$$, а его центр — через $$O$$. Так как треугольник $$ABC$$ правильный, то $$O$$ является одновременно центром описанной и вписанной окружностей, поэтому

$$OH=r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$D$$ на сторону $$BC$$. Тогда в правильном треугольнике $$DBC$$ имеем $$DB=DC=a$$ и $$BH=\frac{a}{2}$$. По теореме Пифагора из треугольника $$DHB$$:

$$ DH=\sqrt{DB^2-BH^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Рассмотрим треугольник $$DOH$$. Так как $$DO\perp (ABC)$$, а $$OH\subset (ABC)$$, то $$DO\perp OH$$. Кроме того, $$DH\perp BC$$ и $$OH\perp BC$$, значит угол $$\angle OHD$$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $$ABC$$ и $$DBC$$.

Найдём $$\cos \angle OHD$$:

$$ \cos \angle OHD=\frac{OH}{DH} =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} =\frac{1}{3}. $$

Следовательно, угол между плоскостями равен

$$\angle(ABC,DBC)=\arccos\frac{1}{3}.$$