Упр.213 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Правильные треугольники $$ABC$$ и $$DBC$$ расположены так, что вершина $$D$$ проектируется в центр треугольника $$ABC$$. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.
Пусть сторона правильных треугольников $$ABC$$ и $$DBC$$ равна $$a$$. Обозначим через $$O$$ центр треугольника $$ABC$$, а через $$E$$ — середину стороны $$BC$$. Тогда $$DO \perp (ABC)$$, а в правильном треугольнике $$ABC$$ точка $$O$$ лежит на медиане $$AE$$, причём $$OE \perp BC$$.
Линейный угол двугранного угла между плоскостями $$ABC$$ и $$DBC$$ — это угол между прямыми $$OE$$ и $$DE$$, то есть $$\angle OED$$.
Найдём нужные отрезки.
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен
$$OE=r=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$
Так как $$DBC$$ — правильный треугольник, то $$DB=a$$, а $$DE$$ — медиана, значит $$DE$$ является высотой:
$$DE=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$DOE$$ имеем
$$\tan \angle OED=\frac{DO}{OE}.$$
Найдём $$DO$$ из прямоугольного треугольника $$DCE$$:
$$DO^2=DE^2-OE^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 =\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{12} =\frac{2a^2}{3},$$
следовательно,
$$DO=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Тогда
$$\tan \angle OED=\frac{a\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} =2\sqrt{2}.$$
Значит, угол между плоскостями равен
$$\angle(ABC,DBC)=\arctan(2\sqrt{2}).$$
Ответ
$$\arctan(2\sqrt{2})$$
