Упр.210 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На рисунке 69 двугранные углы $$HABP$$ и $$PABQ$$ равны. Докажите, что каждая точка плоскости $$ABP$$ равноудалена от плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$.
Возьмём любую точку $$X \in ABP$$ и проведём через неё плоскость $$\alpha$$, перпендикулярную прямой $$AB$$.
Обозначим через $$K$$ и $$M$$ основания перпендикуляров, опущенных из точки $$X$$ на плоскости $$ABH$$ и $$ABQ$$ соответственно. Тогда $$XK$$ и $$XM$$ — искомые расстояния от точки $$X$$ до этих плоскостей.
Рассмотрим в плоскости $$\alpha$$ два треугольника: $$\triangle KTX$$ и $$\triangle MTX$$, где $$T=\alpha \cap AB$$. В них:
- $$TX$$ — общая сторона;
- $$\angle KTX = \angle HTA = \angle HABP$$;
- $$\angle MTX = \angle QTA = \angle PABQ$$.
По условию $$\angle HABP = \angle PABQ$$, значит $$\angle KTX = \angle MTX$$.
Кроме того, углы $$\angle KTX$$ и $$\angle MTX$$ являются линейными углами равных двугранных углов, поэтому соответствующие перпендикуляры равны: $$XK = XM$$.
Следовательно, расстояния от любой точки $$X \in ABP$$ до плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$ равны.
Ответ: каждая точка плоскости $$ABP$$ равноудалена от плоскостей $$ABH$$ и $$ABQ$$.
