Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.21 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружности радиусов $$2$$ и $$4$$ касаются в точке В. Через точку В проведена прямая, пересекающая меньшую окружность в точке А, а большую — в точке С (А и С отличны от В). Найдите отрезок ВС, если $$AC=3\sqrt{2}$$.

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Тогда $$O_1B=4$$, $$O_2B=2$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle O_1BC$$ и $$\triangle ABO_2$$.

У них:

• $$\angle O_1BC=\angle ABO_2$$, так как это углы между одной и той же прямой и радиусами, лежащими на одной прямой;
• $$\angle O_1CB=\angle BAO_2$$, так как точки $$O_1, C, A, O_2$$ расположены так, что соответствующие углы образованы одной секущей.

Следовательно, $$\triangle O_1BC \sim \triangle ABO_2$$.

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AB}{BC}=\frac{O_2B}{O_1B}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Значит, $$AB=\frac{1}{2}BC$$.

По условию $$AC=AB+BC=3\sqrt{2}$$, поэтому

$$\frac{1}{2}BC+BC=3\sqrt{2}$$

$$\frac{3}{2}BC=3\sqrt{2}$$

$$BC=3\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}=2\sqrt{2}.$$

Ответ: $$2\sqrt{2}$$.