Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.21 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной шестиугольной пирамиде $$SABCDEF$$ сторона основания равна $$1$$, а боковое ребро равно $$2$$. Найдите косинус угла между прямой $$AC$$ и плоскостью $$SAF$$.
Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $$SABCDEF$$, где $$AB=1$$, $$SA=2$$. Нужно найти $$\cos \angle$$ между прямой $$AC$$ и плоскостью $$SAF$$.
В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому $$BC=AB=1$$, а угол между соседними радиусами $$\angle ABC=120^\circ$$. Тогда по теореме косинусов в треугольнике $$ABC$$:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 120^\circ$$
$$AC^2=1+1-2\cdot 1\cdot 1\cdot \left(-\frac12\right)=3, \qquad AC=\sqrt3.$$
Пусть $$H$$ — середина ребра $$AF$$, а $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Тогда в правильном шестиугольнике $$AH=\frac12$$, а в равнобедренном треугольнике $$SFA$$ отрезок $$SH$$ перпендикулярен $$AF$$:
$$SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{4-\frac14}=\frac{\sqrt{15}}{2}.$$
Так как плоскость $$SAF$$ содержит прямую $$SH$$ и перпендикулярна основанию по линии $$AF$$, то искомый угол между прямой $$AC$$ и плоскостью $$SAF$$ равен углу между $$AC$$ и её проекцией на эту плоскость. Проекцией отрезка $$AC$$ на плоскость $$SAF$$ является отрезок $$HO$$, где
$$OH=\frac12\,AC=\frac{\sqrt3}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SHO$$ получаем:
$$\cos \angle(AC,SAF)=\cos \angle SHO=\frac{OH}{SH} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} =\frac{\sqrt3}{\sqrt{15}} =\frac{1}{\sqrt5}.$$
Ответ: $$\frac{1}{\sqrt5}$$.
