Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.21 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

1) Найдём диагональ основания правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике $$\angle ABC=120^\circ$$, поэтому по теореме косинусов

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos 120^\circ $$

$$ AC^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot \left(-\frac12\right)=3, \qquad AC=\sqrt3. $$

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник $$SFA$$, где $$SA=SF=2$$. Пусть $$H$$ — середина ребра $$AF$$. Тогда $$SH\perp AF$$, а

$$ AH=\frac{AF}{2}=\frac12. $$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$SAH$$:

$$ SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{4-\frac14}=\frac{\sqrt{15}}{2}. $$

3) Пусть $$O$$ — проекция точки $$S$$ на плоскость основания, а $$H$$ и $$G$$ — середины соответствующих сторон, как на рисунке. Тогда в правильном шестиугольнике отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, равен половине диагонали $$AC$$, значит

$$ OH=\frac12\,AC=\frac{\sqrt3}{2}. $$

В прямоугольном треугольнике $$SHO$$ искомый угол между прямой $$AC$$ и плоскостью $$SAF$$ равен $$\angle SHO$$, поэтому

$$ \cos \angle SHO=\frac{OH}{SH} =\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} =\frac{\sqrt3}{\sqrt{15}} =\frac1{\sqrt5}. $$

Ответ

$$\frac1{\sqrt5}$$