Упр.209 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Углы между равными отрезками $$AB$$ и $$AC$$ и плоскостью $$\alpha$$, проходящей через точку $$A$$, равны соответственно $$40^\circ$$ и $$50^\circ$$. Сравните расстояния от точек $$B$$ и $$C$$ до плоскости $$\alpha$$.

Пусть $$B_1$$ и $$C_1$$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $$B$$ и $$C$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — искомые расстояния от точек $$B$$ и $$C$$ до плоскости $$\alpha$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABB_1$$ и $$ACC_1$$. Так как $$AB=AC$$, то

$$BB_1=AB\cdot \sin 40^\circ,\qquad CC_1=AC\cdot \sin 50^\circ.$$

Следовательно,

$$\frac{BB_1}{CC_1}=\frac{AB\sin 40^\circ}{AC\sin 50^\circ} =\frac{\sin 40^\circ}{\sin 50^\circ}.$$

Поскольку $$40^\circ<50^\circ$$, то $$\sin 40^\circ<\sin 50^\circ$$, значит

$$\frac{BB_1}{CC_1}<1,$$

то есть

$$BB_1<CC_1.$$

Значит, расстояние от точки $$B$$ до плоскости $$\alpha$$ меньше расстояния от точки $$C$$ до этой плоскости.

Ответ: $$BB_1<CC_1$$, то есть расстояние от $$B$$ меньше.