Упр.208 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Из точки К, удаленной от плоскости а на 9 см, проведены к плоскости а наклонные KL и KM, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью а — углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.

Подробный ответ

Пусть $$K_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$K$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$KK_1=9$$ см, а треугольники $$\triangle KLK_1$$ и $$\triangle KMK_1$$ прямоугольные.

Из $$\triangle KLK_1$$ находим $$KL$$:

$$\sin 45^\circ=\frac{KK_1}{KL}$$

$$KL=\frac{KK_1}{\sin 45^\circ}=\frac{9}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=9\sqrt{2}\text{ см}.$$

Из $$\triangle KMK_1$$ находим $$KM$$:

$$\sin 30^\circ=\frac{KK_1}{KM}$$

$$KM=\frac{KK_1}{\sin 30^\circ}=\frac{9}{\frac12}=18\text{ см}.$$

Так как $$\angle LKM=90^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$\triangle LKM$$ по теореме Пифагора:

$$LM=\sqrt{KL^2+KM^2}=\sqrt{(9\sqrt{2})^2+18^2}=\sqrt{162+324}=\sqrt{486}=9\sqrt{6}\text{ см}.$$