Упр.208 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из точки $$K$$, удалённой от плоскости $$\alpha$$ на $$9\ \text{см}$$, проведены к плоскости $$\alpha$$ наклонные $$KL$$ и $$KM$$, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью $$\alpha$$ — углы в $$45^\circ$$ и $$30^\circ$$ соответственно. Найдите отрезок $$LM$$.

Пусть $$K_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$K$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда $$KK_1=9$$ см, а треугольники $$KK_1L$$ и $$KK_1M$$ прямоугольные.

Из треугольника $$KK_1L$$ находим:

$$\sin 45^\circ=\frac{KK_1}{KL}$$

откуда

$$KL=\frac{KK_1}{\sin 45^\circ}=\frac{9}{\frac{\sqrt2}{2}}=9\sqrt2\text{ см}.$$

Из треугольника $$KK_1M$$ находим:

$$\sin 30^\circ=\frac{KK_1}{KM}$$

откуда

$$KM=\frac{KK_1}{\sin 30^\circ}=\frac{9}{\frac12}=18\text{ см}.$$

Так как $$\angle LKM=90^\circ$$, то в прямоугольном треугольнике $$LKM$$ по теореме Пифагора:

$$LM=\sqrt{KL^2+KM^2} =\sqrt{(9\sqrt2)^2+18^2} =\sqrt{162+324} =\sqrt{486} =9\sqrt6\text{ см}.$$

Ответ: $$9\sqrt6\text{ см}$$.