Упр.207 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ дано: $$AB=BC=13\ \text{см}$$, $$AC=10\ \text{см}$$. Точка $$M$$ удалена от прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ на $$8\ \text{см}$$. Найдите расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$ABC$$, если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.
Пусть $$O$$ — проекция точки $$M$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда расстояния от точки $$M$$ до прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ равны соответственно
$$MD=ME=MF=8\tfrac{2}{3}\text{ см},$$
где $$D\in BC,$$ $$E\in AC,$$ $$F\in AB,$$ а $$MD\perp BC,$$ $$ME\perp AC,$$ $$MF\perp AB.$$
Рассмотрим треугольники $$MOD,$$ $$MOE,$$ $$MOF.$$ У них общий катет $$MO$$ и равные гипотенузы $$MD=ME=MF$$, значит,
$$OD=OE=OF.$$
Кроме того, по теореме о трёх перпендикулярах имеем
$$OD\perp BC,\quad OE\perp AC,\quad OF\perp AB.$$
Следовательно, точка $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$OD=OE=OF=r$$ — его радиус вписанной окружности.
Найдём $$r$$. Для треугольника со сторонами $$13,\ 13,\ 10$$ полупериметр равен
$$p=\frac{13+13+10}{2}=18.$$
По формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} =\sqrt{18\cdot(18-13)\cdot(18-13)\cdot(18-10)}$$
$$S=\sqrt{18\cdot 5\cdot 5\cdot 8} =\sqrt{3600}=60.$$
Тогда радиус вписанной окружности
$$r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$MOD$$ по теореме Пифагора:
$$MO=\sqrt{MD^2-OD^2} =\sqrt{\left(8\tfrac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{10}{3}\right)^2}$$
$$MO=\sqrt{\left(\frac{26}{3}\right)^2-\left(\frac{10}{3}\right)^2} =\frac{1}{3}\sqrt{26^2-10^2} =\frac{1}{3}\sqrt{576}=8.$$
Ответ: $$8\text{ см}.$$
