Упр.206 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки M до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что AM = 20 см.

Подробный ответ

Так как $$AM \perp (ABC)$$, то прямая $$AM$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, проходящей через точку $$A$$. Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$A$$ на прямую, содержащую меньшую сторону треугольника. Тогда искомое расстояние от точки $$M$$ до этой прямой равно $$MH$$.

Меньшая сторона треугольника равна $$8$$ см, значит, она лежит против меньшего угла. Следовательно, это сторона $$BC$$, и нужно найти расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AH$$ на $$BC$$. Тогда $$AH$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Найдём площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$ p=\frac{17+15+8}{2}=20 $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-17)(p-15)(p-8)}=\sqrt{20\cdot 3\cdot 5\cdot 12} $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{3600}=60\ \text{см}^2 $$

С другой стороны,

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC \cdot AH $$
$$ 60=\frac{1}{2}\cdot 8 \cdot AH $$
$$ AH=15\ \text{см} $$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMH$$: так как $$AM \perp (ABC)$$, то $$AM \perp AH$$, значит, $$\angle MAH=90^\circ$$. По теореме Пифагора:

$$ MH=\sqrt{AM^2+AH^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25\ \text{см} $$