Упр.206 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Стороны треугольника равны $$17\ \text{см}$$, $$15\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Через вершину $$A$$ меньшего угла треугольника проведена прямая $$AM$$, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки $$M$$ до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что $$AM=20\ \text{см}$$.

Подробный ответ

Так как стороны треугольника равны $$17$$ см, $$15$$ см и $$8$$ см, то меньшей стороне $$BC=8$$ см противолежит меньший угол. Значит, из вершины $$A$$ этого угла опустим высоту $$AH$$ на прямую $$BC$$.

По теореме о трёх перпендикулярах прямая $$MH$$ перпендикулярна $$BC$$, поэтому искомое расстояние от точки $$M$$ до прямой $$BC$$ равно $$MH$$.

Найдём сначала высоту $$AH$$. Площадь треугольника $$ABC$$ по формуле Герона:

$$p=\frac{17+15+8}{2}=20$$
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-17)(p-15)(p-8)}=\sqrt{20\cdot 3\cdot 5\cdot 12}=\sqrt{3600}=60$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH$$
$$60=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot AH$$
$$AH=15\text{ см}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AMH$$, где $$AM=20$$ см:

$$MH=\sqrt{AM^2+AH^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$$

Ответ: $$25$$ см.