Упр.205 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Через вершину C прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если CA = 3 дм, CB = 2 дм, CD = 1 дм.

Подробный ответ

Так как $$CD \perp (ABC)$$, то прямая $$CD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC$$, проходящей через точку $$C$$. Поэтому треугольники $$ACD$$ и $$BCD$$ прямоугольные при $$C$$.

Найдём их гипотенузы по теореме Пифагора:

$$ AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}, $$
$$ BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}. $$

Кроме того, в треугольнике $$ABC$$:

$$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}. $$

Теперь найдём площадь треугольника $$ABD$$ по формуле Герона. Полупериметр:

$$ p=\frac{AB+AD+BD}{2}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2}. $$

Тогда

$$ S_{ABD}=\sqrt{p(p-AB)(p-AD)(p-BD)}. $$

Подставим значения:

$$ S_{ABD}=\sqrt{ \frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}+\sqrt{10}-\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{13}-\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{-\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2} }. $$

После упрощения получаем:

$$ S_{ABD}=\frac{7}{2}=3{,}5. $$