Упр.204 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямая $$OM$$ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника $$ABC$$ и проходит через центр $$O$$ этого треугольника, $$OM=a$$, $$\angle MCO=\varphi$$. Найдите: а) расстояние от точки $$M$$ до каждой из вершин треугольника $$ABC$$ и до прямых $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$; б) длину окружности, описанной около треугольника $$ABC$$; в) площадь треугольника $$ABC$$.
Обозначим через $$R$$ радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$, а через $$x$$ — сторону правильного треугольника.
Для правильного треугольника
$$R=\frac{x}{\sqrt{3}}, \qquad S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2, \qquad L=2\pi R.$$
Так как $$MO\perp (ABC)$$, то треугольник $$MCO$$ прямоугольный. Тогда
$$\ctg\angle MCO=\frac{CO}{MO}=\frac{R}{a},$$
откуда
$$R=a\ctg\varphi.$$
Теперь найдём искомые величины.
а) В правильном треугольнике центр $$O$$ равноудалён от всех вершин, поэтому
$$OA=OB=OC=R.$$
В прямоугольном треугольнике $$MOA$$
$$MA=\sqrt{MO^2+OA^2}=\sqrt{a^2+R^2}=\sqrt{a^2+a^2\ctg^2\varphi}=\frac{a}{\sin\varphi}.$$
Следовательно,
$$MA=MB=MC=\frac{a}{\sin\varphi}.$$
Расстояние от точки $$M$$ до каждой стороны треугольника равно длине перпендикуляра $$MH$$, опущенного на сторону. В правильном треугольнике этот перпендикуляр проходит через центр, поэтому
$$OH=r,$$
где $$r$$ — радиус вписанной окружности. Для правильного треугольника
$$r=\frac{R}{2}.$$
Тогда
$$MH=\sqrt{MO^2+OH^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2\ctg^2\varphi}{4}}=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}}.$$
Значит,
$$d(M,AB)=d(M,BC)=d(M,CA)=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}}.$$
б) Длина окружности, описанной около треугольника $$ABC$$:
$$L=2\pi R=2\pi a\ctg\varphi.$$
в) Площадь треугольника $$ABC$$:
$$S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\ctg^2\varphi.$$
Ответ: а) $$MA=MB=MC=\frac{a}{\sin\varphi},\quad d(M,AB)=d(M,BC)=d(M,CA)=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}}$$; б) $$L=2\pi a\ctg\varphi$$; в) $$S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\ctg^2\varphi$$.
