Упр.204 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая OM перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр O этого треугольника, OM = а, ZMCO = ф. Найдите: а) расстояние от точки M до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых AB, BC и CA; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим через $$R$$ радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$, а через $$x$$ — сторону правильного треугольника $$ABC$$.

Для правильного треугольника известны формулы:

$$R=\frac{x}{\sqrt{3}}, \qquad S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2, \qquad L=2\pi R.$$

Так как $$OM \perp (ABC)$$, то треугольник $$MCO$$ прямоугольный. Поэтому

$$\ctg \angle MCO=\frac{CO}{MO}=\frac{R}{a}.$$

Отсюда

$$R=a\ctg \varphi.$$

Тогда расстояния от точки $$M$$ до вершин треугольника равны:

$$MA=MB=MC.$$

В прямоугольном треугольнике $$MOA$$ имеем

$$MA=\sqrt{MO^2+OA^2}=\sqrt{a^2+R^2}=\sqrt{a^2+a^2\ctg^2\varphi}=\frac{a}{\sin\varphi}.$$

Расстояние от точки $$M$$ до каждой стороны треугольника равно $$MH$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра из $$O$$ на сторону. Для правильного треугольника $$OH=r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности, а

$$r=\frac{R}{2}.$$

Тогда

$$MH=\sqrt{MO^2+OH^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{R}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2+\frac{a^2\ctg^2\varphi}{4}}=a\sqrt{1+\frac{\ctg^2\varphi}{4}}.$$

Длина окружности, описанной около треугольника $$ABC$$:

$$L=2\pi R=2\pi a\ctg\varphi.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2\ctg^2\varphi.$$