Упр.203 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через центр $$O$$ окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$, проведена прямая $$OK$$, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки $$K$$ до сторон треугольника, если $$AB = BC = 10\text{ см}$$, $$AC = 12\text{ см}$$, $$OK = 4\text{ см}$$.

Подробный ответ

Так как прямая $$OK$$ перпендикулярна плоскости треугольника $$ABC$$, то для любой стороны треугольника расстояние от точки $$K$$ до этой стороны равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $$OK$$ и расстоянием от точки $$O$$ до данной стороны.

Точка $$O$$ — центр вписанной окружности, значит, расстояния от неё до всех сторон треугольника равны и равны радиусу вписанной окружности $$r$$.

Найдём $$r$$ для треугольника $$ABC$$, где $$AB=BC=10$$ см, $$AC=12$$ см.

Полупериметр:

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16.$$

По формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4} =\sqrt{2304}=48.$$

С другой стороны, $$S=pr$$, значит

$$r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $$OK=4$$ см и $$r=3$$ см. Тогда расстояние от точки $$K$$ до любой стороны треугольника:

$$d=\sqrt{OK^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5$$ см.