Упр.202 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние $$10\ \text{см}$$. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна $$5\ \text{см}$$?
Так как $$SA=SB=SC=10$$, то точка $$S$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$. Следовательно, она лежит на прямой, перпендикулярной плоскости $$ABC$$ и проходящей через центр описанной окружности треугольника $$ABC$$.
Поскольку $$\triangle ABC$$ прямоугольный, его центр описанной окружности — середина гипотенузы $$AB$$. Обозначим эту середину через $$M$$. Тогда $$CM$$ — медиана к гипотенузе, а значит
$$AM=BM=CM=5\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольник $$ASM$$. Так как $$SM \perp (ABC)$$, то $$SM \perp AM$$, следовательно, $$\triangle ASM$$ прямоугольный. По теореме Пифагора:
$$SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\text{ см}.$$
Значит, расстояние от точки $$S$$ до плоскости треугольника равно $$5\sqrt{3}$$ см.
Ответ: $$5\sqrt{3}\text{ см}$$.
