Упр.201 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите угол между скрещивающимися прямыми $$AB$$ и $$PQ$$, если точки $$P$$ и $$Q$$ равноудалены от концов отрезка $$AB$$.

Подробный ответ

Пусть $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть $$MA=MB$$.

Рассмотрим треугольники $$AQB$$ и $$APB$$. По условию $$QA=QB$$ и $$PA=PB$$, значит, оба треугольника равнобедренные с основанием $$AB$$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Поэтому

$$QM\perp AB,\qquad PM\perp AB.$$

Через точку $$M$$ к прямой $$AB$$ можно провести единственную плоскость, перпендикулярную $$AB$$. Так как прямые $$QM$$ и $$PM$$ лежат в этой плоскости и обе перпендикулярны $$AB$$, то плоскость $$PQM$$ перпендикулярна $$AB$$.

Следовательно, любая прямая этой плоскости, в частности $$PQ$$, перпендикулярна $$AB$$. Значит, угол между скрещивающимися прямыми $$AB$$ и $$PQ$$ равен $$90^\circ$$.

Ответ: $$90^\circ$$.