Подготовка к ЕГЭ Задание 8 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 12, а объём пирамиды равен 200. Найдите боковое ребро пирамиды.

Обозначим сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды через $$a$$. Тогда основание — квадрат, а высота пирамиды $$MH=12$$.

По формуле объёма пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot MH=\frac{1}{3}a^2\cdot 12.$$

Так как $$V=200$$, получаем:

$$200=\frac{1}{3}a^2\cdot 12=4a^2,$$

откуда

$$a^2=50.$$

Диагональ квадрата основания:

$$AC^2=AB^2+BC^2=a^2+a^2=2a^2=100,$$

значит

$$AC=10.$$

Точка $$H$$ — центр квадрата, поэтому

$$AH=\frac{1}{2}AC=5.$$

В прямоугольном треугольнике $$AMH$$:

$$AM^2=AH^2+MH^2=5^2+12^2=25+144=169,$$

следовательно,

$$AM=13.$$

Ответ

$$13$$