Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Известно, что $$\angle AO_1B=90^\circ$$, $$\angle AO_2B=60^\circ$$ и $$O_1O_2=a$$. Найдите радиусы окружностей.

Рассмотрим треугольник $$AO_1O_2.$$

Так как точки $$A$$ и $$B$$ — точки пересечения окружностей, то $$O_1A=O_1B$$ и $$O_2A=O_2B.$$ Следовательно, треугольники $$AO_1B$$ и $$AO_2B$$ равнобедренные.

Из условия $$\angle AO_1B=90^\circ,$$ значит, в равнобедренном треугольнике $$AO_1B$$ углы при основании равны:

$$\angle O_1AB=\angle ABO_1=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Аналогично, из $$\angle AO_2B=60^\circ$$ получаем:

$$\angle O_2AB=\angle ABO_2=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Тогда угол между прямыми $$AO_1$$ и $$AO_2$$ равен

$$\angle O_1AO_2=60^\circ-45^\circ=15^\circ.$$

Но удобнее найти радиусы через треугольник $$O_1AO_2$$ и теорему синусов. В нём

$$\angle AO_1O_2=45^\circ,\qquad \angle AO_2O_1=30^\circ,$$

поэтому

$$\angle O_1AO_2=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{O_1A}{\sin 30^\circ}=\frac{O_2A}{\sin 45^\circ}=\frac{O_1O_2}{\sin 105^\circ}.$$

Найдём $$\sin 105^\circ$$:

$$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 45^\circ\cos 60^\circ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2(1+\sqrt3)}{4}.$$

Тогда

$$O_1A=\frac{O_1O_2\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} =\frac{a\cdot \frac12}{\frac{\sqrt2(1+\sqrt3)}{4}} =\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3},$$

$$O_2A=\frac{O_1O_2\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} =\frac{a\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2(1+\sqrt3)}{4}} =\frac{2a}{1+\sqrt3}.$$

Следовательно, радиусы окружностей равны:

$$r_1=O_1A=\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3},\qquad r_2=O_2A=\frac{2a}{1+\sqrt3}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3}$$ и $$\frac{2a}{1+\sqrt3}$$.