Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной шестиугольной пирамиде $$SABCDEF$$ сторона основания равна $$1$$, а боковое ребро равно $$2$$. Найдите косинус угла между прямыми $$SB$$ и $$АЕ$$.
Обозначим через $$H$$ середину диагонали $$BD$$. Тогда в правильной шестиугольной пирамиде $$SABCDEF$$ точка $$H$$ — основание высоты пирамиды, поэтому $$SH \perp (ABCDEF)$$, а значит $$SH \perp BD$$.
Найдём диагональ $$BD$$ правильного шестиугольника. В треугольнике $$BCD$$ имеем $$BC=CD=1$$ и $$\angle BCD=120^\circ$$, поэтому по теореме косинусов:
$$BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cos 120^\circ$$
$$BD^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\left(-\frac12\right)=3,$$
следовательно, $$BD=\sqrt{3}$$.
Так как пирамида правильная, то $$SB=SD=2$$, а в равнобедренном треугольнике $$SBD$$ отрезок $$SH$$, проведённый к середине основания $$BD$$, является высотой. Значит, $$BH=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$.
В прямоугольном треугольнике $$SBH$$ искомый угол между прямыми $$SB$$ и $$AE$$ равен углу между $$SB$$ и диагональю основания, то есть углу $$\angle SBH$$. Тогда
$$\cos \angle SBH=\frac{BH}{SB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.$$
Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{4}$$.
