Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружности с центрами O_1 и O_2 пересекаются в точках А и В. Известно, что ?AO_1B=90°, ?AO_2B=60° и O_1O_2=a. Найдите радиусы окружностей.

Так как точки $$A$$ и $$B$$ — точки пересечения окружностей, то $$O_1A=O_1B$$ и $$O_2A=O_2B$$.

Рассмотрим треугольник $$AO_1B$$. Он равнобедренный, а по условию $$\angle AO_1B=90^\circ$$, значит

$$\angle O_1AB=\angle O_1BA=\frac{180^\circ-90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$AO_2B$$ при $$\angle AO_2B=60^\circ$$ получаем

$$\angle O_2AB=\angle O_2BA=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Тогда угол между прямыми $$AO_1$$ и $$AO_2$$ равен

$$\angle O_1AO_2=45^\circ+60^\circ=105^\circ.$$

В треугольнике $$AO_1O_2$$ известны углы:

$$\angle AO_1O_2=45^\circ,\qquad \angle AO_2O_1=30^\circ,\qquad \angle O_1AO_2=105^\circ.$$

По теореме синусов:

$$ \frac{O_1A}{\sin 30^\circ}=\frac{O_2A}{\sin 45^\circ}=\frac{O_1O_2}{\sin 105^\circ}. $$

Найдём $$\sin 105^\circ$$:

$$ \sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin 60^\circ\cos 45^\circ+\sin 45^\circ\cos 60^\circ $$

$$ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 =\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}. $$

Тогда

$$ O_1A=a\cdot\frac{\sin 30^\circ}{\sin 105^\circ} =a\cdot\frac{\frac12}{\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}} =\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3}, $$

$$ O_2A=a\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 105^\circ} =a\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{4}} =\frac{2a}{1+\sqrt3}. $$

Ответ

$$O_1A=\frac{a\sqrt2}{1+\sqrt3},\qquad O_2A=\frac{2a}{1+\sqrt3}.$$