Подготовка к ЕГЭ Задание 3 Упр.20 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Периметр прямоугольника равен $$34$$, а площадь равна $$60$$. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $$AB$$ и $$AD$$. Тогда

$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=60,$$
$$P_{ABCD}=2(AB+AD)=34,$$
откуда
$$AB+AD=17.$$

Выразим одну сторону через другую: $$AB=\dfrac{60}{AD}$$. Подставим в сумму сторон:

$$\frac{60}{AD}+AD=17,$$
$$AD^2-17AD+60=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=17^2-4\cdot 60=289-240=49,$$
$$AD=\frac{17\pm 7}{2}.$$

Получаем $$AD=5$$ или $$AD=12$$. Тогда вторая сторона равна соответственно $$AB=12$$ или $$AB=5$$.

Теперь найдём диагональ прямоугольника по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABD$$:

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: $$13$$.