Исследовательские задачи Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть тетраэдр $$ABCD$$ равногранный, то есть все его грани равны между собой.

а) Противоположные рёбра равны

Из равенства граней следует, что

$$\triangle ABC \cong \triangle DAB,\qquad \triangle ABC \cong \triangle BCD,\qquad \triangle ABC \cong \triangle ACD.$$

Отсюда получаем равенства противоположных рёбер:

$$AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC=BD.$$

Обратно, если выполнены равенства $$AB=CD,$$ $$BC=AD,$$ $$AC=BD,$$ то по трём сторонам равны треугольники $$ABC,$$ $$ABD,$$ $$ACD,$$ $$BCD,$$ значит, все грани тетраэдра равны. Следовательно, тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда противоположные рёбра попарно равны.

б) Сумма плоских углов при каждой вершине равна $$180^\circ$$

Из равенства граней имеем, например,

$$\angle PBA=\angle PAC,\qquad \angle PBC=\angle PCA,\qquad \angle PAB=\angle PCB.$$

Тогда сумма плоских углов при вершине $$A$$ равна сумме углов треугольника, то есть

$$\angle PAB+\angle PAC+\angle CAB=180^\circ.$$

Аналогично для каждой вершины сумма плоских углов равна $$180^\circ$$.

Обратно, если при каждой вершине сумма плоских углов равна $$180^\circ,$$ то из этого следует равенство соответствующих граней, а значит, тетраэдр равногранный.

в) Бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны

Пусть $$D,F,E,G,H,K$$ — середины рёбер тетраэдра. Тогда в равногранном тетраэдре

$$DF\parallel AB,\qquad DG\parallel PC,\qquad FE\parallel BC,$$

а также соответствующие отрезки равны. Поэтому в ромбе $$DFEG$$ диагонали $$DE$$ и $$FG$$ взаимно перпендикулярны. Аналогично для остальных пар бимедиан. Значит, бимедианы тетраэдра попарно перпендикулярны.

г) Бимедианы являются общими перпендикулярами прямых, содержащих противоположные рёбра

Из пункта а) получаем

$$AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC=BD.$$

Тогда в равнобедренных треугольниках соответствующие бимедианы перпендикулярны противоположным рёбрам. Например, если $$DE$$ — бимедиана, то

$$DE\perp AB,\qquad DE\perp PC,$$

и аналогично для остальных бимедиан. Следовательно, каждая бимедиана является общим перпендикуляром прямых, содержащих противоположные рёбра тетраэдра.

д) Центры вписанной и описанной сфер совпадают

В равногранном тетраэдре бимедианы и оси симметрии проходят через одну и ту же точку $$O$$. Эта точка равноудалена от всех вершин, значит, является центром описанной сферы. Кроме того, она равноудалена от всех граней, значит, является и центром вписанной сферы. Следовательно, центры вписанной и описанной сфер совпадают.

е) Центр описанной сферы и центр масс совпадают

Пусть $$O$$ — центр описанной сферы, а $$A_1,B_1,C_1,P_1$$ — середины рёбер, выходящих из одной вершины. Тогда медианы тетраэдра равны:

$$AA_1=BB_1=CC_1=PP_1.$$

Так как $$O$$ равноудалён от всех вершин, то он лежит на каждой медиане и делит её в одинаковом отношении. Следовательно, центр описанной сферы совпадает с центром масс тетраэдра.

ж) Центр вписанной сферы и центр масс совпадают

Аналогично предыдущему пункту, в равногранном тетраэдре центр вписанной сферы лежит на всех медианах и делит их в одном и том же отношении. Значит, он совпадает с центром масс тетраэдра.

з) Четыре медианы тетраэдра равны друг другу

Пусть $$AA_1, BB_1, CC_1, PP_1$$ — медианы тетраэдра. В равногранном тетраэдре центр масс $$O$$ равноудалён от всех вершин, поэтому

$$OA=OB=OC=OP.$$

Так как центр масс делит каждую медиану в отношении $$3:1,$$ то

$$AA_1=BB_1=CC_1=PP_1.$$

Следовательно, четыре медианы равны друг другу.

и) Четыре высоты тетраэдра равны друг другу

Пусть $$AA_1, BB_1, CC_1, PP_1$$ — высоты тетраэдра. Тогда площади граней равны:

$$S_{ABC}=S_{ABD}=S_{ACD}=S_{BCD}=S.$$

Объём тетраэдра можно выразить через любую высоту:

$$V=\frac{1}{3}Sh.$$

Так как объём один и тот же, а площади оснований равны, то

$$AA_1=BB_1=CC_1=PP_1.$$

Значит, четыре высоты тетраэдра равны друг другу.

к) Грани тетраэдра равновелики

Если площади всех граней равны, то для любой вершины сумма площадей трёх граней, сходящихся в этой вершине, одинакова. Тогда из формулы объёма через высоту получаем равенство соответствующих высот, а значит, равенство противоположных рёбер и, следовательно, равенство всех граней. Итак, тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда его грани равновелики.

Таким образом, все перечисленные условия эквивалентны равногранности тетраэдра.