Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ на стороне $$BC$$ взята точка $$D$$ так, что $$BD:DC=1:4$$. В каком отношении прямая $$AD$$ делит высоту $$BE$$ треугольника $$ABC$$, считая от вершины $$B$$?

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ высота $$BE$$ является также медианой, значит $$E$$ — середина основания, поэтому

$$AE=CE.$$

Пусть прямая $$AD$$ пересекает высоту $$BE$$ в точке $$P$$. Рассмотрим треугольник $$BEC$$ и применим к нему теорему Менелая для точек $$A, D, P$$:

$$\frac{BP}{PE}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{AE}{CE}=1.$$

По условию

$$\frac{BD}{DC}= \frac{1}{4}, \qquad \frac{CD}{DB}=4,$$

а также $$\frac{AE}{CE}=1$$. Тогда

$$\frac{BP}{PE}\cdot 4 \cdot 1=1,$$

откуда

$$\frac{BP}{PE}=\frac{1}{4}.$$

Значит, точка $$P$$ делит высоту $$BE$$ в отношении

$$BP:PE=1:4.$$

Ответ: $$1:4$$.