Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите косинус угла между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$BC_1D$$.

Обозначим через $$M$$ середину диагонали $$BD$$. Тогда в квадрате $$BCD$$ точка $$M$$ — середина диагонали, значит $$CM=\frac12 BD$$.

Так как $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, то

$$BD=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2,$$

следовательно,

$$CM=\frac12 a\sqrt2=\frac{a}{\sqrt2}.$$

Рассмотрим треугольник $$CC_1M$$. Поскольку ребро $$CC_1$$ перпендикулярно плоскости $$BCD$$, то $$CC_1\perp CM$$, и треугольник $$CC_1M$$ прямоугольный.

Тогда

$$MC_1=\sqrt{CM^2+CC_1^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+a^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{2}}=a\sqrt{\frac32}.$$

Искомый угол между прямой $$AA_1$$ и плоскостью $$BC_1D$$ равен углу между прямой $$CC_1$$ и прямой $$C_1M$$, лежащей в этой плоскости. Поэтому

$$\cos\angle MC_1C=\frac{CC_1}{MC_1}=\frac{a}{a\sqrt{\frac32}}=\sqrt{\frac23}.$$

Ответ: $$\sqrt{\frac23}$$.