Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на стороне ВС взята точка D так, что BD:DC=1:4. В каком отношении прямая AD делит высоту BE треугольника АВС, считая от вершины В?

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ высота $$BE$$ является также медианой, значит

$$AE=CE.$$

Пусть прямая $$AD$$ пересекает высоту $$BE$$ в точке $$P$$. Рассмотрим треугольник $$BEC$$. Точка $$D$$ лежит на стороне $$BC$$, а точка $$P$$ — на стороне $$BE$$, поэтому к треугольнику $$BEC$$ можно применить теорему Менелая для прямой $$A D P$$:

$$\frac{BP}{PE}\cdot \frac{CD}{DB}\cdot \frac{AE}{CE}=1.$$

По условию

$$\frac{BD}{DC}= \frac{1}{4}, \quad \text{значит} \quad \frac{CD}{DB}=4.$$

Кроме того, из равнобедренности треугольника $$ABC$$ имеем

$$\frac{AE}{CE}=1.$$

Тогда

$$\frac{BP}{PE}\cdot 4 \cdot 1=1,$$

откуда

$$\frac{BP}{PE}=\frac{1}{4}.$$

Следовательно,

$$BP:PE=1:4.$$

Ответ

$$1:4$$