Упр.199 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точка $$S$$ равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая $$SM$$, где $$M$$ — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Рассмотрим треугольники $$ASB$$ и $$CSB$$. Так как $$SA=SB=SC$$, то

$$SA=SC,\quad SB=SB.$$

Кроме того, $$SM$$ — общая сторона. Значит,

$$\triangle ASM \cong \triangle CSM$$

по трём сторонам, если установить, что $$AM=CM$$.

Но в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Поэтому, если $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то

$$AM=BM=CM.$$

Тогда в треугольниках $$ASM$$ и $$CSM$$ имеем:

$$SA=SC,\quad AM=CM,\quad SM=SM.$$

Следовательно, $$\triangle ASM \cong \triangle CSM$$, откуда

$$\angle AMS=\angle CMS.$$

Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а $$\angle ACB=90^\circ$$, то прямая $$SM$$ является высотой равнобедренного треугольника $$ASB$$, значит

$$SM\perp AB.$$

Аналогично из равенства треугольников получаем, что

$$SM\perp CM.$$

Прямые $$AB$$ и $$CM$$ пересекаются и лежат в плоскости $$ABC$$, следовательно, прямая, перпендикулярная обеим этим прямым, перпендикулярна всей плоскости:

$$SM\perp (ABC).$$

Ответ: $$SM\perp (ABC)$$.