Упр.199 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где M — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$ASB$$. Так как $$SA=SB$$, то он равнобедренный. По условию точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, значит $$SM$$ — медиана, проведённая к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому

$$SM \perp AB.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$. По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, если $$M$$ — середина гипотенузы $$AB$$, то

$$AM=BM=CM.$$

Тогда в треугольниках $$ASM$$ и $$CSM$$ имеем:

$$AS=CS$$ — по условию,
$$AM=CM$$ — по доказанному,
$$SM$$ — общая сторона.

Значит, $$\triangle ASM \cong \triangle CSM$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle AMS=\angle CMS.$$

Но точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а $$SM \perp AB$$, значит

$$\angle AMS=90^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle CMS=90^\circ,$$

то есть

$$SM \perp CM.$$

Итак, прямая $$SM$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AB$$ и $$CM$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$. Значит,