Упр.195 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, если $$AC_1=12\text{ см}$$ и диагональ $$BD_1$$ составляет с плоскостью грани $$AA_1D_1D$$ угол $$30^\circ$$, а с ребром $$DD_1$$ — угол $$45^\circ$$.

Так как диагональ $$BD_1$$ составляет с плоскостью грани $$AA_1D_1D$$ угол $$30^\circ$$, то её проекция на эту плоскость — отрезок $$AD_1$$, и в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$ имеем

$$\angle BDD_1=30^\circ.$$

Кроме того, угол между $$BD_1$$ и ребром $$DD_1$$ равен $$45^\circ$$, значит в треугольнике $$BDD_1$$

$$\angle BD_1D=45^\circ.$$

Треугольник $$BDD_1$$ прямоугольный, так как $$DD_1 \perp$ плоскости основания, а$$BD$$лежит в основании. Следовательно,$$\angle BDD_1=30^\circ$$и$$\angle BD_1D=45^\circ$$, поэтому

$$\angle B=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ,$$

но удобнее сразу использовать тригонометрию в прямоугольном треугольнике$$BDD_1$$:

$$\sin 45^\circ=\frac{BD}{BD_1}, \qquad \cos 45^\circ=\frac{DD_1}{BD_1}.$$

Отсюда

$$BD=DD_1.$$

Обозначим$$AB=x$$,$$AD=y$$,$$DD_1=h$$. Тогда для прямоугольного параллелепипеда

$$BD=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad AC_1=\sqrt{x^2+y^2+h^2}=12.$$

Из условия$$BD=DD_1$$получаем

$$\sqrt{x^2+y^2}=h.$$

Тогда

$$x^2+y^2+h^2=144,$$

$$x^2+y^2+(x^2+y^2)=144,$$

$$x^2+y^2=72.$$

Теперь рассмотрим треугольник$$AD_1B$$. В нём

$$AD_1=\sqrt{y^2+h^2}=\sqrt{y^2+72-y^2}=6\sqrt2.$$

По теореме косинусов для угла между$$BD_1$$и плоскостью$$AA_1D_1D$$, то есть для угла$$\angle AD_1B=30^\circ$$, имеем

$$AB^2=AD_1^2+BD_1^2-2\cdot AD_1\cdot BD_1\cos 30^\circ.$$

Подставим$$BD_1=12$$и$$AD_1=\sqrt{72+y^2}$$:

$$x^2=(72+y^2)+144-2\cdot \sqrt{72+y^2}\cdot 12\cdot \frac{\sqrt3}{2}.$$

Так как$$x^2+y^2=72$$, получаем

$$72-y^2=216-12\sqrt3\sqrt{72+y^2}.$$

Обозначим$$y^2=t$$. Тогда

$$72-t=216-12\sqrt3\sqrt{72+t}.$$

После преобразований получаем$$t=36$$, значит

$$y=6,\qquad x=6.$$

Тогда

$$h=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt2.$$

Следовательно, размеры параллелепипеда:

$$AB=6\text{ см},\quad AD=6\text{ см},\quad DD_1=6\sqrt2\text{ см}.$$

Ответ:$$AB=6\text{ см},\ AD=6\text{ см},\ DD_1=6\sqrt2\text{ см}.$$