Упр.194 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Ребро куба равно $$a$$. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$a$$.

а) Найдём расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$DD_1$$.

Так как $$DD_1 \parallel AA_1$$, а $$AA_1 \subset (ACC_1)$$, то $$DD_1 \parallel (ACC_1)$$. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми $$AC_1$$ и $$DD_1$$ равно расстоянию от точки $$D$$ до плоскости $$ACC_1$$.

В плоскости $$ACC_1$$ проведём перпендикуляр из точки $$D$$ к прямой $$AC_1$$ и обозначим основание через $$H$$. Тогда искомое расстояние равно $$DH$$.

В прямоугольном треугольнике $$ACC_1$$ имеем

$$AC=a\sqrt{2}, \qquad CC_1=a,$$

поэтому

$$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $$ACC_1$$ можно выразить двумя способами:

$$S_{ACC_1}=\frac12 AC\cdot CC_1=\frac12 AC_1\cdot CH.$$

Отсюда

$$CH=\frac{AC\cdot CC_1}{AC_1}=\frac{a\sqrt2\cdot a}{a\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3}.$$

В равнобедренном треугольнике $$ADC_1$$ медиана $$DH$$ к основанию $$AC_1$$ является также высотой, поэтому

$$DH=\sqrt{DC_1^2-CH^2}.$$

Так как $$DC_1=a\sqrt2$$, то

$$DH=\sqrt{2a^2-\left(\frac{a\sqrt6}{3}\right)^2} =\sqrt{2a^2-\frac{2a^2}{3}} =\sqrt{\frac{4a^2}{3}} =\frac{a\sqrt3}{3}.$$

б) Найдём расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$BD_1$$.

Проведём через точку $$B$$ прямую, параллельную $$AC_1$$. В плоскости $$BB_1D_1D$$ она пересечёт диагональ $$BD_1$$ в точке $$E$$, и тогда расстояние между прямыми $$AC_1$$ и $$BD_1$$ равно расстоянию между параллельными прямыми $$BE$$ и $$BD_1$$, то есть высоте из точки $$B$$ к прямой $$BD_1$$ в треугольнике $$BBD_1$$.

Диагональ грани куба равна $$a\sqrt2$$, а диагональ пространства равна $$a\sqrt3$$, значит в треугольнике $$BBD_1$$

$$BB_1=a,\qquad BD_1=a\sqrt3.$$

Пусть искомое расстояние равно $$x$$. Тогда в треугольнике $$BBD_1$$

$$x=\frac{BB_1\cdot BD}{BD_1}.$$

Но $$BD=a\sqrt2$$, поэтому

$$x=\frac{a\cdot a\sqrt2}{a\sqrt3}=\frac{a\sqrt6}{3}.$$

Итак,

$$d(AC_1,DD_1)=\frac{a\sqrt3}{3}, \qquad d(AC_1,BD_1)=\frac{a\sqrt6}{3}.$$

Ответ: $$\frac{a\sqrt3}{3};\ \frac{a\sqrt6}{3}$$.