Упр.193 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ дано: $$D_1B=d$$, $$AC=m$$, $$AB=n$$. Найдите расстояние между:
а) прямой $$A_1C_1$$ и плоскостью $$ABC$$;
б) плоскостями $$ABB_1$$ и $$DCC_1$$;
в) прямой $$DD_1$$ и плоскостью $$ACC_1$$.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Диагональ основания $$AC=m$$, ребро $$AB=n$$, а пространственная диагональ $$D_1B=d$$.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$:
$$DD_1=\sqrt{d^2-BD^2}.$$
Так как диагональ основания $$BD$$ находится из прямоугольного треугольника $$ABC$$, то
$$BD=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{m^2-n^2}.$$
Следовательно,
$$DD_1=\sqrt{d^2-m^2+n^2}.$$
Но в прямоугольном параллелепипеде все боковые рёбра равны, значит расстояние от прямой $$A_1C_1$$ до плоскости $$ABC$$ равно высоте параллелепипеда:
$$h=DD_1=\sqrt{d^2-m^2+n^2}.$$
Расстояние между плоскостями $$ABB_1$$ и $$DCC_1$$ равно расстоянию между параллельными гранями, то есть ребру $$AD$$. В основании $$ABCD$$ имеем
$$AD=BC=\sqrt{m^2-n^2}.$$
Для расстояния от прямой $$DD_1$$ до плоскости $$ACC_1$$ рассмотрим плоскость основания. Прямая $$DD_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, а плоскость $$ACC_1$$ пересекает основание по диагонали $$AC$$. Поэтому искомое расстояние равно расстоянию от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ в треугольнике $$ADC$$, то есть высоте этого треугольника к стороне $$AC$$.
Площадь треугольника $$ADC$$:
$$S_{ADC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot \sqrt{m^2-n^2}\cdot \sqrt{m^2-n^2}=\frac{m^2-n^2}{2}.$$
С другой стороны,
$$S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot h_3=\frac12\cdot m\cdot h_3,$$
где $$h_3$$ — искомое расстояние. Тогда
$$h_3=\frac{m^2-n^2}{m}.$$
Ответ: а) $$\sqrt{d^2-m^2+n^2}$$; б) $$\sqrt{m^2-n^2}$$; в) $$\frac{m^2-n^2}{m}$$.
