Упр.193 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 дано: D1B = d, AC — m, AB = п. Найдите расстояние между: а) прямой A1C1 и плоскостью ABC; б) плоскостями ABB1 и DCC1; в) прямой DD1 и плоскостью ACC1.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$BDD_1$$ имеем

$$DD_1=\sqrt{D_1B^2-BD^2}.$$

Так как диагональ основания $$AC=m$$, а $$AB=n$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{m^2-n^2}.$$

Тогда

$$DD_1=\sqrt{d^2-m^2}.$$

а) Прямая $$A_1C_1$$ параллельна плоскости $$ABC$$, поэтому расстояние между ними равно расстоянию от любой точки прямой $$A_1C_1$$ до плоскости $$ABC$$, то есть высоте параллелепипеда:

$$\rho\bigl(A_1C_1,\,ABC\bigr)=DD_1=\sqrt{d^2-m^2}.$$

б) Плоскости $$ABB_1$$ и $$DCC_1$$ параллельны. Расстояние между ними равно длине перпендикуляра к этим плоскостям, например отрезка $$AD$$:

$$\rho\bigl(ABB_1,\,DCC_1\bigr)=AD=BC=\sqrt{m^2-n^2}.$$

в) Прямая $$DD_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, а плоскость $$ACC_1$$ пересекает основание по прямой $$AC$$. Поэтому расстояние от точки $$D$$ до плоскости $$ACC_1$$ равно расстоянию от точки $$D$$ до прямой $$AC$$ в основании, то есть высоте треугольника $$ADC$$, опущенной на сторону $$AC$$.

Площадь треугольника $$ADC$$ равна

$$S_{ADC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot n\sqrt{m^2-n^2}.$$

С другой стороны,

$$S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot h=\frac12\cdot m\cdot h,$$

где $$h=\rho\bigl(DD_1,\,ACC_1\bigr)$$. Тогда

$$h=\frac{n\sqrt{m^2-n^2}}{m}.$$