Упр.192 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Рассмотрим диагональ куба $$AC_1$$ и её проекцию на плоскость грани $$ABCD$$. Проекцией точки $$C_1$$ на эту плоскость является точка $$C$$, значит проекцией диагонали $$AC_1$$ будет отрезок $$AC$$.

Тогда угол между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$ABCD$$ равен углу $$\angle CAC_1$$, а

$$\tg \angle(AC_1,\,ABC D)=\tg \angle CAC_1=\frac{CC_1}{AC}.$$

В кубе $$CC_1=a$$, а диагональ грани $$AC$$ равна

$$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$\tg \angle(AC_1,\,ABC D)=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.