Упр.191 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны.

Плоскость $$ABC_1$$ содержит прямую $$BC_1$$, а плоскость $$A_1B_1D$$ содержит прямую $$B_1C_1$$, так как точка $$C_1$$ принадлежит плоскости $$A_1B_1D$$, а точка $$B_1$$ — этой же плоскости.

Рассмотрим плоскость $$B_1C_1C$$. В кубе ребро $$BC$$ перпендикулярно ребру $$B_1C_1$$, а ребро $$CC_1$$ перпендикулярно ребру $$B_1C_1$$, значит, $$B_1C_1 \perp (BCC_1B_1)$$. Тогда любая прямая этой плоскости, проходящая через точку $$C_1$$, перпендикулярна $$B_1C_1$$, в частности $$C_1B \perp B_1C_1$$.

Аналогично, в кубе диагональ $$BC_1$$ плоскости $$ABC_1$$ перпендикулярна диагонали $$B_1D$$ плоскости $$A_1B_1D$$, и эти прямые пересекаются в точке $$B_1$$? Нет, удобнее рассмотреть линейный угол двугранного угла между плоскостями. В плоскости $$B_1C_1C$$ проведём прямую $$C_1B$$, а в плоскости $$A_1B_1D$$ — прямую $$B_1D$$; обе они перпендикулярны ребру $$B_1C_1$$. Следовательно, угол между плоскостями $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ равен углу между этими прямыми, то есть $$90^\circ$$.

Значит, плоскости $$ABC_1$$ и $$A_1B_1D$$ перпендикулярны.

Ответ: $$ABC_1 \perp A_1B_1D$$.