Упр.190 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите следующие двугранные углы: а) $$ABB_1C$$; б) $$ADD_1B$$; в) $$A_1BB_1K$$, где $$K$$ — середина ребра $$A_1B_1$$.
Так как в кубе все двугранные углы при ребрах имеют линейные углы, лежащие в плоскости основания $$ABCD$$, найдём их по соответствующим углам в этой плоскости.
а) Для двугранного угла $$ABB_1C$$ линейным углом служит угол $$\angle ABC$$. В квадрате $$ABCD$$
$$\angle ABC=90^\circ,$$
значит, $$ABB_1C=90^\circ$$.
б) Для двугранного угла $$ADD_1B$$ линейным углом служит угол $$\angle ADB$$. В квадрате $$ABCD$$ диагональ $$DB$$ делит прямой угол $$\angle ADC$$ пополам, поэтому
$$\angle ADB=45^\circ.$$
Следовательно, $$ADD_1B=45^\circ$$.
в) Рассмотрим двугранный угол $$A_1BB_1K$$. Проведём в плоскости $$A_1D_1D$$ через точку $$K$$ прямую, параллельную $$A_1A$$. Тогда она будет перпендикулярна плоскости $$ABB_1A_1$$, а значит, линейным углом двугранного угла $$A_1BB_1K$$ является угол между прямой $$B_1K$$ и этой параллельной прямой.
Так как $$K$$ — середина ребра $$A_1D_1$$, то
$$A_1K=KD_1=\frac{a}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$A_1B_1K$$ имеем $$A_1B_1=a$$ и $$A_1K=\frac{a}{2}$$, поэтому
$$\tan \angle KB_1A_1=\frac{A_1K}{A_1B_1}=\frac{1}{2}.$$
Следовательно,
$$A_1B B_1K=\arctg\frac{1}{2}.$$
Ответ: $$ABB_1C=90^\circ,\; ADD_1B=45^\circ,\; A_1BB_1K=\arctg\frac{1}{2}.$$
