Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 18. Найдите ее среднюю линию.

Обозначим диагонали трапеции через $$AC$$ и $$BD$$, а их точку пересечения — через $$O$$. В равнобедренной трапеции диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит

$$AO=CO,\qquad BO=DO,\qquad AC=BD.$$

Так как диагонали перпендикулярны, то треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ прямоугольные. Тогда

$$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{AO^2+AO^2}=AO\sqrt{2},$$
$$BC=\sqrt{BO^2+CO^2}=\sqrt{CO^2+CO^2}=CO\sqrt{2}.$$

Но $$AO=CO$$, значит $$AD=BC$$, а средняя линия трапеции равна

$$EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{AO\sqrt{2}+CO\sqrt{2}}{2}=\frac{AC}{\sqrt{2}}.$$

Площадь трапеции можно выразить двумя способами:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=EF\cdot BH,$$

и, поскольку диагонали перпендикулярны,

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}AC^2.$$

Тогда при $$BH=18$$ получаем

$$EF\cdot 18=\frac{1}{2}AC^2.$$

С другой стороны, $$EF=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}$$, значит

$$\frac{AC}{\sqrt{2}}\cdot 18=\frac{1}{2}AC^2,$$
$$18\sqrt{2}=AC.$$

Следовательно,

$$EF=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=18.$$

Ответ

$$18$$