Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной четырёхугольной пирамиде $$SABCD$$ все рёбра равны $$1$$. Найдите косинус угла между прямой $$AB$$ и плоскостью $$SAD$$.

Рассмотрим треугольник $$SAD.$$ Так как пирамида правильная, то $$SA=SD=AD=1,$$ значит, $$\triangle SAD$$ равнобедренный.

Пусть $$E$$ — середина ребра $$AD.$$ Тогда $$SE\perp AD$$, а в прямоугольном треугольнике $$SAE$$ имеем

$$SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{1-\frac14} =\sqrt{\frac34} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

В квадрате $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$H$$, поэтому $$H$$ — середина диагонали $$AC$$, а прямая $$BD$$ проходит через центр квадрата. Следовательно, расстояние от точки $$E$$ до прямой $$BD$$ равно половине стороны квадрата:

$$EH=\frac12\,AB=\frac12.$$

Угол между прямой $$AB$$ и плоскостью $$SAD$$ равен углу между прямой $$AB$$ и её ортогональной проекцией на эту плоскость. В данном построении это угол $$\angle SEH$$, и в прямоугольном треугольнике $$SEH$$

$$\cos \angle SEH=\frac{EH}{SE} =\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt3}{3}$$.