Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Обозначим $$CF=x$$. Тогда по свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:
$$AE=AE,\quad BE=12,\quad AF=5,\quad CD=CF=x.$$
На гипотенузе $$AB$$ получаем:
$$AB=AE+BE=5+12=17.$$
Тогда катеты прямоугольного треугольника равны:
$$AC=AF+CF=x+5,$$
$$BC=CD+DF=x+12.$$
По теореме Пифагора:
$$AB^2=AC^2+BC^2,$$
$$17^2=(x+5)^2+(x+12)^2.$$
Раскроем скобки:
$$289=x^2+10x+25+x^2+24x+144,$$
$$2x^2+34x-120=0,$$
$$x^2+17x-60=0.$$
Найдём корни:
$$D=17^2+4\cdot 60=529,$$
$$x=\frac{-17\pm 23}{2}.$$
Положительный корень:
$$x=\frac{6}{2}=3.$$
Тогда
$$AC=x+5=8,$$
$$BC=x+12=15.$$
Ответ
$$AC=8,\ BC=15.$$