Подготовка к ЕГЭ Задание 6 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна $$18$$. Найдите её среднюю линию.
Обозначим основания равнобедренной трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а диагонали — через $$AC$$ и $$BD$$. По условию диагонали перпендикулярны, значит площадь трапеции можно выразить через диагонали:
$$S=\frac12 AC\cdot BD.$$
С другой стороны, для трапеции площадь равна произведению средней линии на высоту:
$$S=EF\cdot BH.$$
Так как трапеция равнобедренная, то ее диагонали равны, а из перпендикулярности диагоналей следует, что в прямоугольных треугольниках с катетами, равными половинам диагоналей, основания выражаются через диагонали:
$$AD=AO\sqrt2,\qquad BC=CO\sqrt2,$$
где $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Тогда средняя линия равна
$$EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{AO\sqrt2+CO\sqrt2}{2}=\frac{AC}{\sqrt2}.$$
Теперь найдём диагональ $$AC$$ из равенства площадей:
$$EF\cdot BH=\frac12 AC\cdot BD.$$
Так как $$AC=BD$$, получаем
$$EF\cdot 18=\frac12 AC^2.$$
Подставим $$EF=\frac{AC}{\sqrt2}$$:
$$\frac{AC}{\sqrt2}\cdot 18=\frac12 AC^2,$$
$$18\sqrt2=AC.$$
Тогда
$$EF=\frac{AC}{\sqrt2}=\frac{18\sqrt2}{\sqrt2}=18.$$
Ответ: $$18$$.
