Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD.

Рассмотрим треугольник $$SAD$$. Так как пирамида правильная, то $$SA=SD=AD=1$$, значит, $$\triangle SAD$$ — равносторонний.

Пусть $$E$$ — середина ребра $$AD$$. Тогда $$SE$$ — высота равностороннего треугольника $$SAD$$, поэтому

$$ SE=\sqrt{SA^2-AE^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{1-\frac14}=\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}. $$

Теперь рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Диагонали квадрата пересекаются в точке $$H$$, значит, $$H$$ — центр квадрата, а прямая $$EH$$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна $$AD$$. Кроме того, в квадрате

$$ EH=\frac12 AB=\frac12. $$

Угол между прямой $$AB$$ и плоскостью $$SAD$$ равен углу между прямой $$AB$$ и её ортогональной проекцией на плоскость $$SAD$$. В данном построении это угол $$\angle SEH$$, и в прямоугольном треугольнике $$SEH$$

$$ \cos \angle SEH=\frac{EH}{SE} =\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}. $$

Ответ

$$\frac{\sqrt3}{3}$$