Упр.19 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость а. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость а.

В параллелограмме $$ABCD$$ противоположные стороны попарно параллельны, значит

$$AB \parallel CD,\qquad BC \parallel AD.$$

По условию прямые $$AB$$ и $$BC$$ пересекают плоскость $$\alpha$$. Тогда по лемме: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Из $$AB \parallel CD$$ и того, что $$AB$$ пересекает плоскость $$\alpha$$, следует, что $$CD$$ тоже пересекает плоскость $$\alpha$$.

Из $$BC \parallel AD$$ и того, что $$BC$$ пересекает плоскость $$\alpha$$, следует, что $$AD$$ тоже пересекает плоскость $$\alpha$$.

Следовательно, прямые $$AD$$ и $$DC$$ пересекают плоскость $$\alpha$$.

Ответ

$$AD \cap \alpha \neq \varnothing,\qquad DC \cap \alpha \neq \varnothing.$$