Упр.189 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна $$m$$; б) диагональ куба равна $$d$$.

Подробный ответ

Пусть ребро куба равно $$a$$.

Расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, не содержащей эту вершину, равно длине перпендикуляра к этой грани, то есть равно ребру куба $$a$$.

Найдём $$a$$ через данные задачи.

Если диагональ грани равна $$m$$, то по теореме Пифагора для квадрата:

$$m^2=a^2+a^2=2a^2,$$

откуда

$$a=\frac{m}{\sqrt{2}}.$$

Если диагональ куба равна $$d$$, то для пространственной диагонали:

$$d^2=a^2+a^2+a^2=3a^2,$$

откуда

$$a=\frac{d}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно, искомое расстояние равно:

а) $$\frac{m}{\sqrt{2}}$$;

б) $$\frac{d}{\sqrt{3}}$$.