Упр.186 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые $$a$$ и $$b$$ и перпендикулярная к каждой из них.

Рассмотрим плоскость $$\alpha,$$ проходящую через прямую $$a$$ и параллельную прямой $$b.$$

Через прямую $$a$$ проведём плоскость $$\beta$$ так, чтобы $$\beta \perp \alpha,$$ и через прямую $$b$$ проведём плоскость $$\gamma$$ так, чтобы $$\gamma \perp \alpha.$$ Тогда линия пересечения плоскостей $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекает прямые $$a$$ и $$b$$ и перпендикулярна каждой из них.

Действительно, если прямая лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости $$\alpha,$$ то она перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha,$$ проходящей через точку пересечения. Поэтому искомая прямая, как линия пересечения $$\beta$$ и $$\gamma,$$ перпендикулярна и $$a,$$ и $$b.$$

Докажем единственность. Предположим, что существуют две такие прямые $$A_1B_1$$ и $$A_2B_2,$$ пересекающие $$a$$ и $$b$$ и перпендикулярные к каждой из них. Тогда обе эти прямые перпендикулярны плоскости $$\alpha,$$ а значит, параллельны друг другу.

Но две параллельные прямые, пересекающие одну и ту же прямую $$a,$$ лежат с ней в одной плоскости. Аналогично прямая $$b$$ тоже лежит в этой плоскости. Следовательно, прямые $$a$$ и $$b$$ оказались бы лежащими в одной плоскости, что противоречит тому, что они скрещивающиеся.

Значит, такая прямая существует и притом только одна.