Упр.184 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Общая сторона $$AB$$ треугольников $$ABC$$ и $$ABD$$ равна $$10\text{ см}$$. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите $$CD$$, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой $$AB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ABD$$.

В обоих случаях они равны: либо по двум сторонам и углу между ними, либо по трём сторонам. Поэтому соответствующие медианы, проведённые к стороне $$AB$$, равны:

$$CM=DM,$$

где $$M$$ — середина отрезка $$AB$$.

Проведём медиану $$CM$$ в треугольнике $$ABC$$ и медиану $$DM$$ в треугольнике $$ABD$$. Так как плоскости треугольников взаимно перпендикулярны, а $$CM \perp AB$$ и $$DM \perp AB$$, то угол $$\angle CMD$$ равен двугранному углу между плоскостями, то есть

$$\angle CMD=90^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$CMD$$ по теореме Пифагора:

$$CD^2=CM^2+DM^2=2CM^2,$$
$$CD=CM\sqrt{2}.$$

а) Треугольники равносторонние

В равностороннем треугольнике медиана равна высоте:

$$CM=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot AB=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 10=5\sqrt{3}.$$

Тогда

$$CD=5\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}\text{ см}.$$

б) Треугольники прямоугольные равнобедренные с гипотенузой $$AB$$

В таком треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы:

$$CM=\frac{AB}{2}=5.$$

Следовательно,

$$CD=5\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ: а) $$5\sqrt{6}\text{ см}$$; б) $$5\sqrt{2}\text{ см}$$.