Упр.183 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$ и перпендикулярны к плоскости $$\gamma$$. Докажите, что прямая $$a$$ перпендикулярна к плоскости $$\gamma$$.

Подробный ответ

Возьмём точку $$O=a\cap \gamma.$$

Так как $$\alpha \perp \gamma,$$ то любая прямая плоскости $$\alpha,$$ проходящая через точку $$O,$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma.$$ Аналогично, из условия $$\beta \perp \gamma$$ следует, что любая прямая плоскости $$\beta,$$ проходящая через точку $$O,$$ перпендикулярна плоскости $$\gamma.$$

Проведём в плоскости $$\alpha$$ через точку $$O$$ прямую $$m,$$ а в плоскости $$\beta$$ через точку $$O$$ прямую $$n.$$ Тогда

$$m\perp \gamma,\qquad n\perp \gamma.$$

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Значит, $$m\parallel n.$$ Но обе эти прямые лежат в плоскости, проходящей через прямую $$a$$ и точку $$O,$$ поэтому они пересекаются в точке $$O.$$ Следовательно, $$m=n.$$

Итак, через точку $$O$$ в плоскостях $$\alpha$$ и $$\beta$$ проходит одна и та же прямая, перпендикулярная плоскости $$\gamma.$$ Эта прямая и есть $$a,$$ значит

$$a\perp \gamma.$$