Упр.182 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Плоскости а и P взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки M проведены перпендикуляры MA и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость AMB в точке С. а) Докажите, что четырехугольник ACBM является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки M до прямой о, если AM = m, BM = п.
Так как $$MA \perp \alpha$$ и $$MB \perp \beta$$, а плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой $$a$$, то прямая $$a$$ пересекает плоскость $$AMB$$ в точке $$C$$.
По свойству взаимно перпендикулярных плоскостей прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Поэтому $$AC \perp BC$$, а значит, $$\angle ACB=90^\circ$$.
Кроме того, $$MA \perp \alpha$$, следовательно, $$MA \perp AC$$, так как $$AC \subset \alpha$$. Аналогично, $$MB \perp \beta$$ и $$BC \subset \beta$$, значит $$MB \perp BC$$.
Итак, в плоскости $$AMB$$ получаем:
- $$AC \perp BC$$;
- $$AC \perp AM$$;
- $$BC \perp BM$$.
Следовательно, четырехугольник $$ACBM$$ — прямоугольник.
Теперь найдём расстояние от точки $$M$$ до прямой $$a$$. Это отрезок $$MC$$, так как $$C \in a$$ и $$MC \perp a$$.
В прямоугольнике $$ACBM$$ диагональ $$CM$$ находим по теореме Пифагора:
$$ CM^2=AM^2+BM^2 $$
$$ CM^2=m^2+n^2 $$
$$ CM=\sqrt{m^2+n^2} $$
Ответ
$$ACBM$$ — прямоугольник; $$d(M,a)=CM=\sqrt{m^2+n^2}$$.