Упр.182 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой $$a$$. Из точки $$M$$ проведены перпендикуляры $$MA$$ и $$MB$$ к этим плоскостям. Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$AMB$$ в точке $$C$$.

а) Докажите, что четырёхугольник $$ACBM$$ является прямоугольником.

б) Найдите расстояние от точки $$M$$ до прямой $$a$$, если $$AM=m$$, $$BM=n$$.

Так как $$a \perp \alpha$$ и $$a \perp \beta,$$ то прямая $$a$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$\alpha$$, проходящей через точку пересечения плоскостей и перпендикулярной линии их пересечения. В частности, в плоскости $$AMB$$ прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$\alpha,$$ а прямая $$BC$$ — в плоскости $$\beta.$$

По условию $$MA \perp \alpha,$$ значит $$MA \perp AC.$$ Аналогично, $$MB \perp \beta,$$ следовательно $$MB \perp BC.$$ Кроме того, по построению линейного угла двугранного угла между плоскостями $$\alpha$$ и $$\beta$$ имеем $$\angle ACB=90^\circ,$$ то есть $$AC \perp BC.$$

Итак, в четырёхугольнике $$ACBM$$ все углы прямые, значит $$ACBM$$ — прямоугольник.

Диагональ прямоугольника $$CM$$ найдём по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AMB$$:

$$CM=AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{m^2+n^2}.$$

Ответ: $$CM=\sqrt{m^2+n^2}$$.