Упр.181 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a$$. Из точки $$M$$ проведены перпендикуляры $$MA$$ и $$MB$$ соответственно к плоскостям $$\alpha$$ и $$\beta$$. Прямая $$a$$ пересекает плоскость $$AMB$$ в точке $$C$$. Докажите, что $$MC \perp a$$.

Подробный ответ

Так как $$MA \perp \alpha$$ и $$MB \perp \beta,$$ а плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$a,$$ то прямая $$a$$ перпендикулярна и $$MA,$$ и $$MB$$, поскольку каждая из этих прямых лежит в своей плоскости.

Следовательно, прямая $$a$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$MA$$ и $$MB,$$ лежащим в плоскости $$AMB.$$ Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости

$$a \perp (AMB).$$

Точка $$C$$ лежит на прямой $$a$$ и одновременно принадлежит плоскости $$AMB,$$ поэтому прямая $$MC$$ лежит в плоскости $$AMB.$$ Тогда из $$a \perp (AMB)$$ следует, что $$a$$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, проходящей через точку $$C,$$ в частности прямой $$MC.$$

Итак, $$MC \perp a.$$